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1. 半代数定义？
2. 请问σ-代数（sigma-algebra）的含义是什么，能否举例说明？

半代数定义？

定义一：设 ，如果 满足

(1) ，

(2)如果 .

(3)

则称 是一个半代数(semi-algebra).

例：我们设 ，那么 就是一个半代数。

定义二：设 ，如果 满足

(1)

(2)如果

(3)如果

则称 是一个集代数(algebra).

定义三：设 ，如果 满足

(1)

(2)如果

(3)如果

则称 是一个 代数( algebra).

接下来我们不加证明的给出以下命题。

命题一：若 是一个代数，那么它一定是个半代数。

命题二：若 ，且 是一个集代数， ， 是个指标集。则 是一个集代数。

命题三:若 ，且 是一个 代数， ， 是个指标集。则 是一个 代数。

定义四：考虑 的一个子集族 ，记 是由 生成的集代数，若 ，且 是一个集代数。

定义五：我们称 是包含 的最小的集代数，若对于任意一个包含 的集代数 ，都有 。

同样，我们有以下命题，

命题四：设 是包含 的最小的集代数，则 ，其中 ， 是所有包含 的集代数。

以上的定义和命题对 代数同样成立。

引理：设 是一个半代数， 是由 生成的最小的集代数，则

。

证明：

设 ，由德摩根律 ，又由集代数的定义得 .

定义一个集合 (表示集合的不交并)，如果我们能证明 是一个集代数那么由 的定义我们有 ，那么所要证的结论就自然成立。

为了证明 是一个集代数，我们必需验证三个条件，

(1)

(2)如果 ，那么根据定义 ， 。

那么 。又因为 ，所以 。

(3)设 ，则 ，根据半代数的定义，对每一个 ，都有 。

那么 ，

这就证明了我们的结论。

事实上， 。

请问σ-代数（sigma-algebra）的含义是什么，能否举例说明？

刚好最近学到这块，简单讲一下我的理解：

={all random variable} 所有的random variable的一个集合，你可以把它看作一个房子里会发生的所有事。

sigma algebra就比较厉害了是这个世界上可以发生的所有事

filtration是sigma algebra的序列，随着时间顺序把sigma algebra 都扔进去，是一个流动的过程总和。

然后 是一个lecture notes简单的例子，结合定义，因为定义单独讲太无聊了，我也在油管找了很多东西帮助自己理解，因为在不知道一个东西到底干嘛的情况下去学习真的有点为难我本来就不太好使的脑子。

u:股票价格上升，D:股票价格下降。然后我们简单点就假设三天后的股票结果，所有情况就是：升降，升升，降升，降降。用字母表示就UU,UD,DU,DD

={UU,UD,DU,DD}

sigma algebra 的定义：

collection of subset of ,需要满足哪些要求才能成为sigma algebra：

;

A

上面的Ai是什么呢？是partition的元素，什么叫partition呢，简单的画个图来解释：

就是把全集切开来了 你拿几个 它拿几个。然后partition这个东西 在我的例子里他是一个会随时间变化的，里面的元素并不是固定的。比如说在t=0，我们往后看，我们看最后的结果是团在一起的。但是t=1的时候，我们已经可以确定第一步的涨跌已经被定下来了，所以如果第一步涨，你后面的结果就是{uu,ud},但是如果你第一步跌你后面的结果就是{du,dd}。简单来说 根据你现在能拿到的信息分组，你现在信息为0，那最后的结果也是大家都团在一起。

回到sigma-algebra

用文字来解释 的定义就是sigma-algebra包含partition，也包含partition的补集，也包含他们的并集，还包含 本身。这样看是不是很牛逼 很符合上面的比喻： 是房子里会发生的所有事，而sigma-algebra是这个世界会发生的所有事情

其实我对week1 介绍这些的内容是有点迷茫的就是不知道干什么用， 但是老师说后续会用到，希望以后弄的更加透彻了能重新来修改一下。也希望有不同意见的朋友指教一下 。